| [ следующий ] [ начало главы ] [ предыдущий ] | [ содержание ] |
4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
С л о ж е н и е
Таблицы сложения легко составить,
используя Правило Счета.
| Сложение в двоичной
системе
|
Сложение в восьмеричной системе
|
При сложении цифры суммируются по разрядам,
и если при этом возникает избыток, то он
переносится влево.
Пример 1. Сложим
числа 15 и 6 в различных системах счисления.
| Шестнадцатеричная: F16+616
|
Ответ: 15+6 = 2110 =
101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21. |
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
| Шестнадцатеричная: F16+716+316
|
Ответ: 5+7+3 = 2510 =
110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3 . 81 + 1 . 80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1 . 161 + 9 . 160 = 16+9 = 25. |
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012
= 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы
к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20
+ 2-2 = 201,25
311,28 = 3 . 82 + 181 +
1 . 80 + 2 . 8-1 =
201,25
C9,416 = 12 . 161 + 9 . 160
+ 4 . 16-1 = 201,25
В ы ч и т а н и е
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510
= 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные
разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20
+ 2-1 = 141,5;
215,48 = 2 . 82 + 1 . 81
+ 5 . 80 + 4 . 8-1 =
141,5;
8D,816 = 8 . 161 + D . 160
+ 8 . 16-1 = 141,5.
У м н о ж е н и е
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
| Умножение в двоичной
системе
|
Умножение в восьмеричной системе
|
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102
= 368.
Проверка. Преобразуем полученные
произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21
= 30;
368 = 381 + 680 = 30.
Пример 8. Перемножим
числа 115 и 51.
Ответ: 115 . 51 = 586510 =
10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные
произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27
+ 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83
+ 3 . 82 + 5 . 81 + 1
. 80 = 5865.
Д е л е н и е
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим
число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные
частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20
= 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80
= 51.
Пример 11. Разделим
число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168
Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные
частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1
= 2,5.
