Простейшие рекурсивные алгоритмы
Следует заметить, что практически все задания этой подгруппы можно легко решить и без использования рекурсии. Данное обстоятельство связано с тем, что в заданиях рассматриваются действительно простейшие примеры рекурсии, легко сводимые к итерационным алгоритмам. Более того, в некоторых случаях использование рекурсии приводит к неэффективным алгоритмам (см., например, задания Proc64 и Proc65). Однако именно на подобных примерах проще всего получить первоначальные навыки разработки рекурсивных алгоритмов.
Proc61. Описать рекурсивные функции Fact(N) и Fact2(N) вещественного типа, вычисляющие значения факториала N! и двойного факториала N!! соответственно (N > 0 — параметр целого типа). С помощью этих функций вычислить факториалы и двойные факториалы пяти данных чисел.
Proc62. Описать рекурсивную функцию PowerN(x,n) вещественного типа, находящую значение n-й степени числа x по формуле: x0 = 1, xn = x·xn–1 при n > 0, xn = 1 / x–n при n < 0 (x >= 0 — вещественное число, n — целое). С помощью этой функции найти значения XN при 5 различных значениях N для данного X.
Proc63. Описать рекурсивную функцию SqrtK(x,k,n) вещественного типа, находящую приближенное значение корня k-й степени из числа x по формуле: y(0) = 1, y(n+1) = y(n) – (y(n) – x / y(n)k–1) / k, где y(n) обозначает SqrtK(x,k,n) (x — вещественный параметр, k и n — целые; x > 0, k > 1, n > 0). С помощью этой функции найти приближенные значения корня K-й степени из X при 6 различных значениях N для данных X и K.
Proc64. Описать рекурсивную функцию FibRec(N) целого типа, вычисляющую N-е число Фибоначчи F(N) по формуле: F(1) = F(2) = 1, F(k) = F(k–2) + F(k–1), k = 3, 4, ... . С помощью этой функции найти пять чисел Фибоначчи с указанными номерами и вывести эти числа вместе q jnkhweqrbnl рекурсивных вызовов функции FibRec, потребовавшихся для их нахождения.
Proc65. Описать рекурсивную функцию C(m,n) целого типа, находящую число сочетаний из n элементов по m, используя формулу: C(0,n) = C(n,n) = 1, C(m,n) = C(m,n–1) + C(m–1,n–1) при 0 < m < n (m и n — целые параметры; n > 0, 0 <= m <= n). Дано число N и пять различных значений M. Вывести числа C(M,N) вместе с количеством рекурсивных вызовов функции C, потребовавшихся для их нахождения.
Proc66. Описать рекурсивную функцию NOD(A,B) целого типа, находящую наибольший общий делитель двух натуральных чисел A и B, используя алгоритм Евклида: NOD(A,B) = NOD(B mod A,A), если A <> 0; NOD(0,B) = B. С помощью этой функции найти наибольшие общие делители пар A и B, A и C, A и D, если даны числа A, B, C, D.
Proc67. Описать рекурсивную функцию MinRec(A,N)1|MaxRec(A,N)2 вещественного типа, которая находит минимальный1|максимальный2 элемент вещественного массива A размера N, не используя оператор цикла. С помощью функции MinRec1|MaxRec2 найти минимальные1|максимальные2 элементы массивов A, B, C размера NA, NB, NC соответственно.
Proc68. Описать рекурсивную функцию Digits(S) целого типа, находящую количество цифр в строке S без использования оператора цикла. С помощью этой функции найти количество цифр в данных пяти строках.
Proc69. Описать рекурсивную функцию Simm(S) логического типа, проверяющую, является ли симметричной строка S, без использования оператора цикла. С помощью этой функции проверить данные пять строк.
