2. 1. 4. Построение касательных и нормалей к плоским кривым
Для проведения касательной к кривой
необходимо задать уравнение кривой в каком
либо виде: Y=F(x); или F1(x,
y)=0; или
X=Fx(t); Y=Fy(t);
и координаты точки на кривой (xi,
yi).
Уравнение касательной
к кривой имеет вид:
(x-xi)*dY/dx
=(y-yi); или
(x-xi)*dFy/dt
= (y-yi)*dFx/dt;
где dY/dx = dF(x)/dx = - (¶F1(x,
y)/¶x)/(¶F1(x,
y)/¶y);
Уравнение нормали к
кривой имеет вид:
(x-xi) = -(y-yi)*dY/dx;
или
(x-xi)*dFx/dt
= -(y-yi)*dFy/dt;
Пусть уравнение кривой имеет вид: X=A*cos(t); Y=B*sin(t);
- эллипс. Алгоритм
построения касательной к кривой в
расчетной области X_Min<=x<=X_Max ,
Y_Min<=y<=Y_Max следующий.
1) Находим производные dFx/dt=-A*sin(t);
dFy/dt=B*cos(t).
2) В области изменения параметра "t"
задаем ti и определяем координаты точки
Xi, Yi и
производные dXi= (dFx/dt)i,
dYi= (dFy/dt)i в
точке "ti".
3) Находим точки "1" и "2"
пересечения касательной с границами
расчетной области:
при dXi<>0 полагаем x1=x_Min и находим y1=(x1-xi)*dYi/dXi
+ yi;
если y1< y_Min,
то y1=y_Min и
определяем x1= (y1-yi)*dXi/dYi + xi;
если y1> y_Max,
то y1=y_Max и
определяем x1= (y1-yi)*dXi/dYi + xi;
аналогично, при
dXi<>0 полагаем x2=x_Max и находим y2 по
приведенной выше схеме с корректировкой
значений y2 и x2.
При dXi=0 полагаем x1=xi и y1=y_Max и x2=xi и y2=y_Min.
4) Через точки "1" и "2" проводим
прямую.
Несколько проще алгоритм построения
касательной постоянной длины "2*L"
к плоской кривой. В
этом случае:
при dXi<>0
находим alf=arctg(dY/dx)i; иначе alf=900; и определяем:
x1 = xi + L*cos(alf);
y1 = yi + L*sin(alf);
x2 = xi - L*cos(alf);
y2 = yi - L*sin(alf);
При построении нормали
используется уравнение нормали к кривой и
приведенные выше алгоритмы.
